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Polinômios: o que são e como identificar?

Primeiramente, para que um polinômio seja constituído, são indispensáveis dois fatores, como você pode conferir neste artigo

imagem mostra fórmulas matemáticas, inclusive polinômios no quadro negro

Os polinômios são velhos conhecidos na matemática. Portanto, eles são muito cobrados nas séries finais do Ensino Fundamental, durante todo o Ensino Médio e nas provas dos vestibulares e do Enem.

Mas para entender melhor o que significa, como é a sua aplicação e como resolver os exercícios é muito importante entender primeiramente o seu conceito.

Breve descrição: quais são os itens indispensáveis?

Primeiramente, para que um polinômio seja constituído, são indispensáveis dois fatores, como você pode conferir a seguir:

  • monômios: estruturado por coeficientes e variáveis, sendo que os coeficientes nada mais são do que os números, enquanto que as variáveis são as letras;
  • operadores aritméticos: são representados pelos sinais de soma (+), subtração ( – ), multiplicação ( . ), divisão ( / ) e potenciação.

Portanto, veja os exemplos a seguir:

  • 2x + 6
  • 5ab + 2a + 2
  • 2x² + 3x + 1

Assim, no primeiro exemplo, 2x é um monômio, onde 2 é o coeficiente e x é a variável. Além disso, o operador aritmético do monômio é a multiplicação, que está subentendida entre o 2 e o x. Dessa forma, a identificação prossegue nos dois exemplos seguintes.

Classificação: como identificar a quantidade de termos?

Por conseguinte, na hora de uma avaliação, os polinômios certamente serão apresentados de forma complexa, com vários termos. Mas veja na sequência como identificar o polinômio.

  • Monômio: um único termo. Ex: 2ab;
  • Binômio: dois termos. Ex: 34c + 12y;
  • Trinômio: três termos. Ex: x.z4 + 25 – z.x;
  • Polinômio: mais de três termos. Ex: 2x-5ab+8x/12x;

Grau de um polinômio: como posso localizar?

Contudo, como saber se um polinômio é a partir do 2º grau? Primeiramente é importante identificar o maior grau do expoente de uma variável. Veja:

Portanto, na expressão 2.x2+3.x, a variável é x, enquanto que temos x2, portanto, temos um polinômio de 2º grau.

Já a expressão 5z+6=5.z3 trata-se de um polinômio de 3º grau.

Agora, quando temos um polinômio com mais de uma variável, devemos somar os expoentes para termos o grau da expressão polinomial.

Exemplo: 5+10.x.y-3.x.y2

Desse modo, para chegarmos a uma resposta, devemos considerar o expoente 1 onde não há nada escrito:

  • x.y = x1 . y1, sendo 1 + 1 = 2
  • x.y2= x1. y2, sendo 1 + 2 = 3

Assim, como o maior expoente tem somatório 3, temos em mãos um polinômio de 3º grau.

Entretanto, também existem polinômios de grau nulo. É o caso da expressão x=2. Temos aqui um polinômio de grau 0, portanto tecnicamente temos um polinômio nulo.  

Tipos: completo ou incompleto

Consequentemente, existem ainda duas classificações de polinômios: os completos e os incompletos.

Completos: quando a ordem dos expoentes é decrescente e não houver falhas na sequência. Exemplo:

8.x4 + 5.x3 + 3.x2 + 7.x1 – 3.x0

Incompletos: ocorre o inverso do completo, ou seja, a ordem dos expoentes é crescente e não há uma sequência. Veja:

8.x4 + 3.x2 + 2.x0

Polinômios: confira como resolver

Adição

Sendo assim, na expressão: (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1), primeiramente, vamos eliminar os parênteses, fazendo o jogo de sinal. Portanto:

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1

Agora, iremos ordenar de forma decrescente, considerando o valor da potência:

–2x² + 7x – 3x³ – 3

Assim, a expressão se resume a:

–3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração

Agora, vamos considerar o mesmo exemplo dado acima na adição, porém, com o sinal da subtração. Veja como resolver:

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1)

Vamos, enfim, eliminar os parênteses e não esquecer de mudar o sinal, se necessário:

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1

Logo, devemos ordenar as potências, da maior para a menor:

3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação

Em outro sentido, quando falamos em multiplicação, é possível fazer a operação entre polinômios, considerando aqui o uso da propriedade distributiva. Confira:

(x – 1).(x2 + 2x – 6)

x2 . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1)

(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)

x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6

x³ + x² – 8x + 6

Já na divisão, a linha de raciocínio é a mesma adotada na multiplicação.

Curiosidade

E, então, você já leu sobre o binômio de Newton? Ele é representado por uma potência do tipo (x+a)n. Para resolver a questão, basta considerar o valor de x como 1. Veja o exemplo:

x=(4x+2)4

x=(4.1+2)4

x=(6)4

x=6.6.6.6

x=1296

Dicas Enem ou Vestibular

Os polinômios caem com frequência no Enem. Portanto para reforçar seus estudos sobre este tema, reveja suas anotações sobre equações de 1º e 2º grau, bem como potenciação e propriedade distributiva. Afinal, todos esses conceitos são usados na hora de resolver uma expressão polinomial. Boa sorte!

Exercício resolvido

Logo, essa questão pode ser considerada de complexidade média. Veja como resolver.

(Prefeitura de Terra de Areia-RS – Objetiva 2016). Assinalar a alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo:

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

a) 10x + 14xy + 18yx

b) 6x² + 21xy

c) 10x² + 32xy

d) 10x² + 9y

e) 22x + 9y

Primeiramente, aplica-se a propriedade distributiva:

10x2 + 14xy + 18xy

10x2 + 32xy

Portanto, o gabarito é a letra C.

Em resumo, reforce seus estudos sobre polinômios revendo os principais conteúdos e mande bem no Enem.

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Escrito por Redator Especialista em Matemática

Redator especialista em matemática do Guia do Ensino.

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