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Fatoração: entenda o processo de simplificação de expressões

O maior propósito da fatoração, desse modo, é simplificar expressões, eliminando variáveis repetidas

óculos sobre livro de matemática que explica conceitos de fatoração

Fatorar é transformar um algarismo ou uma expressão algébrica em produto de uma multiplicação. Portanto, na Matemática a fatoração é muito utilizada nas expressões algébricas polinomiais e nos algarismos em geral.

Portanto, o maior propósito da fatoração, desse modo, é simplificar expressões, eliminando variáveis repetidas.

Sendo assim, para compreender o processo é importante ter uma base de conhecimento em polinômios, produto notável, potenciação e operadores algébricos, como a multiplicação.

Fatoração: transformando números

Logo, o modo mais simples da fatoração está na transformação de números naturais em expressões. Veja como fatorar o número 144.

144   2

72     2

36     2

18     2

9       3

3       3

1       1

Portanto, o resultado da fatoração de 144 é 24 . 32 , ou seja 16.9= 144.

Formas de fatoração: praticando o conceito

Por consequência, existem algumas formas de fatoração de expressões polinomiais. Lembrando que um polinômio é um conjunto de coeficientes (números) e variáveis (letras) complementadas por operadores algébricos (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

Fator comum em evidência

Como o próprio nome diz, a forma de fatoração de fator comum em evidência consiste em reunir os fatores comuns em evidência do lado esquerdo e as demais peças da expressão do lado direito.

Portanto, esse tipo de operação é realizado quando há um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Assim, esse fator é isolado antes da colocação de parênteses com os demais termos da expressão.

Sendo assim, na expressão polinomial 12x + 6y – 9z, temos que o número 3 é um quociente dos algarismos da expressão e também percebemos que as variáveis não se repetem.

Portanto, para chegar à fatoração devemos colocar o número 3 na frente dos parênteses e dividir todos os termos por 3. Veja:

12x + 6y – 9z

3.(4x + 2y – 3z)

Agrupamento

Mas quando não existe um fator que se repete nos polinômios, uma forma de realizar a fatoração é por meio do agrupamento. Desse modo, o nosso primeiro passo é identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.

Veja o exemplo:

mx + 3nx + my + 3ny

x (m + 3n) + y (m + 3n)

(m + 3n) (x + y) ͢    fatoração da expressão

Portanto, o resultado é alcançado por meio do agrupamento de expressões que se assemelham e da disposição em evidência.

Diferença de dois quadrados

Como fatorar a expressão a2 – b2? Nesta expressão não há como aplicar as formas anteriores de fatoração. Portanto, o mais indicado é a diferença de dois quadrados, que iremos demonstrar agora.

Para fatorar os polinômios, usamos o produto notável da soma pela diferença. Lembrando que produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios.

Veja o exemplo:

a2 – b2

(a + b) . (a – b)

Dessa forma, devemos então calcular a raiz quadrada dos dois termos e, em seguida, fazer o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Outro exemplo:

9×2 – 25

√9×2 = 3x

√25 = 5

9×2 – 25

(3x + 5) . (3x – 5)

Trinômio do quadrado perfeito

Para se utilizar esta forma é preciso que exista um trinômio e que ele seja de quadrado perfeito.

Mas lembrando que o trinômio é o conjunto de três monômios, sendo que cada monômio é formado por um número e uma letra.

Veja o exemplo:

16×2 + 8x + 1

Dois fatores do trinômio têm raízes quadradas, então ele é um quadrado perfeito.  

Portanto a forma fatorada é:

16×2 + 8x + 1

(4x + 1).2

Trinômio do tipo x2+Sx+P

Mas e quando não se trata de um trinômio do quadrado perfeito? Então, nestes casos, temos que recorrer ao trinômio do tipo x2+Sx+P. No caso, S é a soma e P é o produto.

No exemplo m2 + 7m – 8 temos um trinômio de quadrado não perfeito, pois não se tem a raiz quadrada de dois fatores.

Nesse sentido, na expressão acima, o primeiro passo é achar dois números que, somados, resultem em 7 e o produto deles seja -8.

– 1 . 8 = – 8

1 . (-8) = – 8

4 . (- 2) = – 8

– 4 . 2 = – 8

Devemos achar também uma expressão em que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7.

Assim, a fatoração de m2 + 7m – 8 é (m – 1) (m + 8).

Soma de dois cubos

Para efetuar a fatoração com a soma de dois cubos, é essencial que haja um binômio elevado à terceira potência, ou seja, ao cubo.

Em suma, siga o exemplo: 27×3 + 1000. Esta é a soma de dois cubos.

Pode-se, em síntese, fatorar a expressão da seguinte maneira:

(3x)3 + 103, assim: x = 3x e y = 10

Nesse sentido, basta agora fazermos as substituições.

(x + y) (x2 – xy + y2)

(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)

(3x + 10) (9×2 – 30x + 100)

Desse modo, a fatoração de 27×3 + 1000 será (3x + 10) (9×2 – 30x + 100).

Diferença de dois cubos

Muito semelhante à forma anterior, a diferença de dois cubos é a forma de fatoração de um binômio onde se subtrai dois cubos.

Considerando os fatores x e y, se subtrairmos x – y e montarmos uma expressão algébrica, teremos:

x2 + xy + y2

Portanto, devemos multiplicar as duas expressões encontradas, obtendo-se assim:

(x – y) (x2 + xy + y2)

Usando-se a propriedade distributiva, teremos:

x3 + x2y + xy2 – x2y –xy2 – y3

Portanto x3 – y3 é uma expressão algébrica de dois termos, onde dois monômios estão elevados ao cubo e subtraídos.

Conclui-se então que x3 – y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y podem assumir qualquer valor real.

Em resumo, a forma fatorada de x3 – y3 será (x – y) (x2 + xy + y2).

Dicas para o Enem e outros vestibulares

Portanto, o tema fatoração é campeão nas provas de Matemática do Enem e outros vestibulares, pois une uma série de conhecimentos e habilidades já aprendidos em outros temas da disciplina.

Por consequência, a dica é, então, fazer simulados e assistir à material de apoio na internet para mandar bem nas questões sobre fatoração.

Exercício resolvido

Então, qual é a forma fatorada da expressão x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49?

a) (x + 7)2·(x – 7)2

b) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49)

c) (x + 7)·(x – 7)2

d) (x + 7)2·x – 72

e) x + 72·(x – 7)2

Resposta:

Usando o método do trinômio quadrado perfeito, temos que a forma fatorada de x2 + 14x + 49 é:

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:

(x + 7)2·(x – 7)2

O gabarito da questão é a letra A.

Em suma, reforce seus estudos sobre este tema e mande bem nas provas.

Escrito por Redator Especialista em Matemática

Redator especialista em matemática do Guia do Ensino.

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