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Entenda o que são sistemas de equações na Matemática

Um determinado sistema é de 1º grau quando o maior expoente das incógnitas que integram as equações é igual a 1 e não há multiplicação entre eles.

calculadora, papel e caneta sobre a mesa

Conhecidos por serem ferramentas importantíssimas dentro da Matemática, os sistemas de equações são utilizados com o objetivo de encontrar os valores dos famosos “x” e “y” dentro de equações que possuem duas variáveis. 

No geral, para resolver esses sistemas é necessário criar uma relação entre as equações, ou seja, encontrar os valores que satisfaçam de forma simultânea as duas equações e, por fim, aplicar algumas técnicas pré-definidas. 

Assim, por mais que pareça algo complicado, fique sabendo que não é tanto. Na verdade, os métodos utilizados para a resolução dessas equações são a substituição ou a adição. 

No entanto, é preciso ter bastante atenção para não cometer nenhum erro, ainda mais durante a realização de alguma prova de vestibular ou até mesmo do Enem, por exemplo. Afinal, os sistemas de equações aparecem constantemente nesses exames. 

Levando isso em consideração, nada melhor do que entender de fato como resolver da maneira correta um sistema de equações, não é mesmo? Então, continue a leitura e depois pratique os exercícios no final a fim de ficar bem preparado para a sua próxima prova! 

Veja como resolver sistemas de equações 

Antes de qualquer coisa é importante deixar claro que a seguir será possível entender como resolver sistemas de equações do 1º grau, certo? Isso porque eles são os mais solicitados nas provas de Matemática. 

Assim, para quem não sabe, um determinado sistema é de 1º grau quando o maior expoente das incógnitas que integram as equações – o “x” e o “y” – é igual a 1 e não há multiplicação entre eles. 

1º grau

Mas, então, como resolver os sistemas de equações do 1º grau? Bom, basicamente esse tipo de sistema pode ser solucionado através da soma ou da substituição. 

Além disso, outra informação importante é que a quantidade de elementos do conjunto solução de um sistema linear de 1º grau é sempre igual ao número de incógnitas presente nele. 

Como exemplo, considere o sistema abaixo:

Nesse caso, o par ordenado (6; -2) é capaz de resolver ambas as equações e, por conta disso, é a solução final do sistema. Portanto, esse par ordenado é chamado de conjunto solução e deve ser escrito da seguinte maneira: 

S = {( 6; -2)}

Dessa forma, as chaves indicam o conjunto solução, enquanto os parênteses servem para mostrar o par ordenado da solução. A partir do momento em que dois ou mais sistemas têm exatamente o mesmo conjunto solução, eles passam a ser chamados de sistemas equivalentes. 

Portanto, depois de entender todos esses pontos importantes, chegou a hora de saber na prática como é possível solucionar um sistema de equações do 1º grau tanto através do método da substituição quanto da adição. Acompanhe! 

Método da substituição

Resumidamente, o método da substituição, como o próprio nome já sugere, consiste em separar uma das equações, bem como isolar uma das incógnitas a fim de determinar o seu valor em relação a outra. Ou seja, isolar primeiramente o “x” ou o “y”. 

Sendo assim, depois que descobrir o valor de um desses, é o momento de substituir o valor na outra equação. Ao fazer isso, a segunda equação ficará somente com uma incógnita, sendo possível achar o valor final. O último passo, então, é substituir na primeira equação o valor encontrado e, assim, achar o valor da outra incógnita. 

Resumidamente, primeiro é necessário separar uma das equações, isolar o “x”, por exemplo, e depois achar o seu valor. Quando isso acontecer, é preciso substituir o valor do “x” na outra equação e com isso encontrar o valor do “y”. 

Confira abaixo quais são os três passos básicos para solucionar sistemas de equações do 1º grau por meio do método da substituição através do seguinte sistema: 

Passo 1

Para começar, escolha uma das equações do sistema – a mais fácil entre elas – e isole ou o “x” ou o “y”. Dessa maneira: 

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

Passo 2 

A segunda etapa é substituir – na equação que não foi escolhida – aquela incógnita isolada no passo anterior, ou seja, o “x”, que passou a equivaler a -7 + 2y, e resolver a equação:

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = – 5

-21 +6y + 2y =-5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

Passo 3 

O último passo é substituir o valor do “y” encontrado anteriormente em qualquer uma das equações – fica a sua escolha. Veja como: 

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 +4

x = -3

Com base em todas as contas, então, a solução desse sistema é: S {(-3, 2)}.

Método da adição 

Conseguiu entender como se dá a resolução pelo método da substituição? Pois então chegou o momento de conferir como funciona a solução do mesmo sistema mencionado anteriormente, mas agora através do método da adição. 

Nesse caso, é necessário basicamente juntar as duas equações em apenas uma, eliminando o “x” ou o “y”. Entretanto, para que isso realmente funcione é fundamental que os coeficientes de uma das incógnitas tenham sinais contrários e o mesmo valor. 

Sendo assim, considere o mesmo sistema de equação anterior: 

Como é possível notar, os coeficientes do “y” atendem ao requisito mencionado antes. Por conta disso, tudo o que você precisa fazer é somar cada uma das colunas do sistema: 

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -3

Ao descobrir o valor do “x”, a próxima etapa é saber quando vale o “y”:

x – 2y = -7

-3 – 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Sendo assim, a resolução de todo o sistema é S {(-3, 2)} – exatamente o mesmo conjunto solução encontrado através do método da adição. 

Incógnitas

Todavia, você deve estar se perguntando: e quando as equações de um determinado sistema não tiverem pelo menos uma das incógnitas com o mesmo valor e sinais opostos? 

Por consequência, quando isso acontece, para utilizar o método da adição na hora de resolver é preciso multiplicar todos os termos por um valor. Como um exemplo, considere o sistema abaixo: 

Nele, nenhuma das incógnitas possui o mesmo coeficiente com sinais opostos. Então, o que você deve fazer é multiplicar toda a equação por um mesmo valor que seja capaz de transformar o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação.

Na equação acima em específico, um número que faz essa função é o -2. O resultado é o seguinte: 

Feito isso, é só solucionar o sistema por meio do método da adição. Ou seja: 

Levando isso em consideração, x = -12. Agora, a próxima etapa é substituir esse valor em alguma das equações com o intuito de achar a incógnita “y”. Veja como:

Portanto, a solução do sistema é S {-12, 60)}. O importante aqui é tomar o máximo de cuidado possível na hora de fazer a multiplicação com o número escolhido a fim de não cometer nenhum erro, principalmente com os sinais. Afinal, qualquer equívoco pode afetar o resultado final. 

Dica para o Enem

Muitas vezes, os vestibulares e a prova do Enem podem cobrar algumas coisas mais teóricas relacionadas aos sistemas de equações. Pensando nisso, tenha sempre em mente que um sistema do 1º grau é classificado como: 

  • Possível e determinado;
  • Possível e indeterminado; 
  • Impossível. 

Um sistema é possível e determinado quando ele apresenta uma única solução. Por sua vez, quando ele possui infinitas soluções é considerado como possível e determinado. Já os impossíveis são aqueles que não têm nenhuma solução. 

Esteja sempre atento a isso, certo? Afinal, ao invés de precisar resolver um sistema pode ser que você tenha que identificar a classificação de alguma maneira. 

Exercícios resolvidos 

Para fixar ainda mais tudo o que foi explicado ao longo deste conteúdo, nada melhor do que resolver alguns exercícios, não é mesmo? Lembre-se de que colocar em prática é uma das melhores formas de entender, ainda mais quando o assunto é Matemática.

Com base nisso, tente solucionar os exercícios abaixo e depois veja a resolução a fim de conferir se você acertou ou não a resposta: 

1) (Cefet – RJ 2016) Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa?

a) R$ 0,05
b) R$ 0,15
c) R$ 0,25
d) R$ 0,35

Resolução: Em primeiro lugar é necessário montar os sistemas para só depois resolvê-los. Sendo assim, considerando como “y” o valor da tampa e como “x” o da garrafa, é possível montar alguns dos sistemas abaixo: 

Como a incógnita “y” nesse caso possui o mesmo valor e sinais opostos, o método mais fácil para encontrar a resposta final é a adição. Confira como: 

Logo, x = 0,55 (esse é o valor da garrafa). Com base nisso, a tampa custa exatamente 0,05, já que 0,55 – 0,50 é igual a 0,05: 

Alternativa correta: A 

2) (Cefet – RJ 2014) Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

a) 120
b) 125
c) 130
d) 135

Resolução: Tendo como base que “x” é o número de dias na primeira situação e “y” é a quantidade de dias na segunda situação, e que em ambas o número de páginas lidas é exatamente o mesmo, o seguinte sistema pode ser formulado: 

O melhor a se fazer nesse sistema é solucioná-lo por meio do método da substituição: 

5 (y-16) = 3y

5y – 80 = 3y

5y – 3y = 80

2y = 80

y = 80/2 = 40

Considerando que y = 40, a quantidade de páginas do livro é 3.y, ou seja, 120.

Alternativa correta: A 

3) (Vunesp) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, R$ 33. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, R$ 76. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais é:

a) 11
b) 12
c) 13
d) 17
e) 38

Resolução: Atribuindo “x” para o preço de cada lapiseira, “y” para o valor de cada caderno e “z” para o preço da caneta, é possível criar o sistema abaixo: 

Como não há nenhuma incógnita com o mesmo valor e sinal oposto, para solucionar a equação através do método adição é preciso multiplicar todo o sistema pelo número (-2):

Somando todos os termos corretamente, tem-se que y = 10 (preço de cada lapiseira). Então, substituindo esse valor que foi encontrado acima: 

x + 3y + z = 33

x + 30 + z  = 33

x + z = 3

Sendo assim, o valor total de um caderno, uma caneta e uma lapiseira é R$ 13.

Alternativa correta: C

Conseguiu resolver todos os sistemas de equações ou precisou consultar a solução de algum deles? De qualquer forma, não deixe de treinar quantas vezes forem possíveis a fim de fixar esse tema tão importante para as provas de Matemática, certo? 

Independentemente da prova que você for fazer, é bastante provável que tenha pelo menos uma questão sobre esse assunto! 

O que você achou?

Escrito por Redator Especialista em Matemática

Redator especialista em matemática do Guia do Ensino.

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