Inicialmente, precisamos entender que para que a divisibilidade ocorra, precisamos da divisão. Essa por sua vez é uma da operações básicas da matemática, e que utilizamos a todo momento em nossas vidas. Quando dividimos o valor do táxi, pagamos uma conta e recebemos troco, entre outros tantos exemplos.
Quando se trata da aplicação científica da divisão, ela também é muito comum, sendo utilizada por exemplo, para calcular porcentagens, médias e fatoração. Assim, a divisibilidade é uma estratégia para uma resolução mais rápida desta operação.
Quando a divisibilidade ocorre?
Em primeiro lugar, é importante ressaltar que os critérios da divisibilidade somente se aplicam a números naturais, ou seja, inteiros e positivos. Isso porque o processo de divisibilidade somente pode ser aplicado quando, em uma divisão, o resultado é um número inteiro e o resto é zero.
Veja, por exemplo:
Se dividirmos 10 por 2, o resultado é 5 e o restante é 0. No entanto, não dá para dividir 10 por 3, porque o resultado será diferente de 0.
Transformando em linguagem científica:
Se D e d são números naturais, diz-se que D (dividendo) é divisível por d (divisor) se existe um número natural q (quociente) tal que d x q = D.
Conheça e entenda seus critérios
Como já falamos anteriormente, a divisibilidade é um mecanismo para encurtar caminhos no processo de divisão. Sendo que para alguns números existem regras que permitem verificar essa possibilidade sem efetuar a operação de divisão. Desta forma, a essas regras damos o nome de critérios de divisibilidade.
Simplificar é sempre bom não é mesmo? Então vamos conhecer esses números:
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, 2, 4, 6, 8, ou seja, quando ele é par. Por exemplo:
- 5020 é divisível por 2, pois termina em 0;
- 233 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Por exemplo:
- 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Por exemplo:
- 1600 é divisível por 4, pois termina em 00;
- 5016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4;
- 1224 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;
- 4150 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Por exemplo:
- 35 é divisível por 5, pois termina em 5.
- 20 é divisível por 5, pois termina em 0.
- 74 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Por exemplo:
- 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
- 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Por exemplo:
- 4000 é divisível por 8, pois termina em 000.
- 41104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Por exemplo:
- 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Por exemplo:
- 3550 é divisível por 10, pois termina em 0.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Onde o algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. Por exemplo:
- O número 87549
- Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
- Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
- Si-Sp = 22-11 = 11
- Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Por exemplo:
- 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Por exemplo:
- 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Por exemplo:
- 200 é divisível por 25, pois termina em 00.
Exercícios resolvidos para fixação
Então, agora que você já conhece os critérios de divisibilidade, que tal testar seus conhecimentos?
(Algás – UFAL). Critério de divisibilidade por 11: Esse critério é semelhante ao critério de divisibilidade por 9. Um número é divisível por 11 quando a soma alternada dos seus algarismos é divisível por 11. Por soma alternada queremos dizer que somamos e subtraímos algarismos alternadamente (539 ⇒5 – 3 + 9 = 11).
Se A e B são algarismos do sistema decimal de numeração e o número 109 AB é múltiplo de 11, então:
a) B = A.
b) A + B = 1.
c) B – A = 1.
d) A – B = 10.
e) A + B = -10.
Resolução da equação
Efetuando a soma alternada:
1 – 0 + 9 – A + B = 10 – A + B = 10 + (B – A)
A e B são algarismos do sistema decimal, ou seja, pertencem ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Se 10 + (B – A) é um número múltiplo de 11, e A e B estão entre 0 e 9, podemos concluir que:
10 + (B – A) = 11
B – A = 11 – 10
B – A = 1
Resposta Correta: C
Para melhorar ainda mais seus conhecimentos em matemática, aproveite para estudar também:
- Função algébrica de 1.º grau
- Aplicações da função algébrica do 2.º grau
- Desigualdades matemática e suas propriedades
Aproveite também para seguir o Guia do Ensino e não perca nenhuma atualização dos conteúdos mais importantes para seus estudos.
