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Divisibilidade: entenda seus critérios

A divisibilidade é a possibilidade de dividir um número por outro. Isso ocorre quando o resultado da divisão é um número inteiro e o restante é zero.

Inicialmente, precisamos entender que para que a divisibilidade ocorra, precisamos da divisão. Essa por sua vez é uma da operações básicas da matemática, e que utilizamos a todo momento em nossas vidas. Quando dividimos o valor do táxi, pagamos uma conta e recebemos troco, entre outros tantos exemplos.

Quando se trata da aplicação científica da divisão, ela também é muito comum, sendo utilizada por exemplo, para calcular porcentagens, médias e fatoração. Assim, a divisibilidade é uma estratégia para uma resolução mais rápida desta operação.

Quando a divisibilidade ocorre?

Em primeiro lugar, é importante ressaltar que os critérios da divisibilidade somente se aplicam a números naturais, ou seja, inteiros e positivos. Isso porque o processo de divisibilidade somente pode ser aplicado quando, em uma divisão, o resultado é um número inteiro e o resto é zero.

Veja, por exemplo:

Se dividirmos 10 por 2, o resultado é 5 e o restante é 0. No entanto, não dá para dividir 10 por 3, porque o resultado será diferente de 0.

Transformando em linguagem científica:

Se D e d são números naturais, diz-se que D (dividendo) é divisível por d (divisor) se existe um número natural q (quociente) tal que d x q = D.

Conheça e entenda seus critérios

Como já falamos anteriormente, a divisibilidade é um mecanismo para encurtar caminhos no processo de divisão. Sendo que para alguns números existem regras que permitem verificar essa possibilidade sem efetuar a operação de divisão. Desta forma, a essas regras damos o nome de critérios de divisibilidade.

Números coloridos recortados.
A divisibilidade visa encurtar caminhos no processo de divisão

Simplificar é sempre bom não é mesmo? Então vamos conhecer esses números:

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, 2, 4, 6, 8, ou seja, quando ele é par. Por exemplo: 

  • 5020 é divisível por 2, pois termina em 0;
  • 233 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Por exemplo:

  • 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Por exemplo:

  • 1600 é divisível por 4, pois termina em 00;
  • 5016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4;
  • 1224 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4;
  • 4150 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Por exemplo:

  • 35 é divisível por 5, pois termina em 5.
  • 20 é divisível por 5, pois termina em 0.
  • 74 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Por exemplo:

  • 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
  • 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Por exemplo:

  • 4000 é divisível por 8, pois termina em 000.
  • 41104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Por exemplo:

  • 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Por exemplo:

  • 3550 é divisível por 10, pois termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Onde o algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. Por exemplo:

  • O número 87549
  • Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
  • Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
  • Si-Sp = 22-11 = 11
  • Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Por exemplo:

  • 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Por exemplo:

  • 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Por exemplo:

  • 200 é divisível por 25, pois termina em 00.

Exercícios resolvidos para fixação

Então, agora que você já conhece os critérios de divisibilidade, que tal testar seus conhecimentos?

(Algás – UFAL). Critério de divisibilidade por 11: Esse critério é semelhante ao critério de divisibilidade por 9. Um número é divisível por 11 quando a soma alternada dos seus algarismos é divisível por 11. Por soma alternada queremos dizer que somamos e subtraímos algarismos alternadamente (539 ⇒5 – 3 + 9 = 11).

Se A e B são algarismos do sistema decimal de numeração e o número 109 AB é múltiplo de 11, então:

a) B = A.

b) A + B = 1.

c) B – A = 1.

d) A – B = 10.

e) A + B = -10.

Resolução da equação

Efetuando a soma alternada:

1 – 0 + 9 – A + B = 10 – A + B = 10 + (B – A)

A e B são algarismos do sistema decimal, ou seja, pertencem ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Se 10 + (B – A) é um número múltiplo de 11, e A e B estão entre 0 e 9, podemos concluir que:

10 + (B – A) = 11

B – A = 11 – 10

B – A = 1

Resposta Correta: C

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Escrito por Redator Especialista em Matemática

Redator especialista em matemática do Guia do Ensino.

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