Polinômios: o que são e como identificar para solucionar equações?

Os polinômios são velhos conhecidos na matemática. Portanto, eles são muito cobrados nas séries finais do Ensino Fundamental, durante todo o Ensino Médio e nas provas dos vestibulares e do Enem.

Mas para entender melhor o que significa, como é a sua aplicação e como resolver os exercícios é muito importante entender primeiramente o seu conceito.

Breve descrição: quais são os itens indispensáveis?

Primeiramente, para que um polinômio seja constituído, são indispensáveis dois fatores, como você pode conferir a seguir:

monômios: estruturado por coeficientes e variáveis, sendo que os coeficientes nada mais são do que os números, enquanto que as variáveis são as letras;
operadores aritméticos: são representados pelos sinais de soma (+), subtração ( – ), multiplicação ( . ), divisão ( / ) e potenciação.

Portanto, veja os exemplos a seguir:

2x + 6
5ab + 2a + 2
2x² + 3x + 1

Assim, no primeiro exemplo, 2x é um monômio, onde 2 é o coeficiente e x é a variável. Além disso, o operador aritmético do monômio é a multiplicação, que está subentendida entre o 2 e o x. Dessa forma, a identificação prossegue nos dois exemplos seguintes.

Classificação: como identificar a quantidade de termos?

Por conseguinte, na hora de uma avaliação, os polinômios certamente serão apresentados de forma complexa, com vários termos. Mas veja na sequência como identificar o polinômio.

Monômio: um único termo. Ex: 2ab;
Binômio: dois termos. Ex: 34c + 12y;
Trinômio: três termos. Ex: x.z4 + 25 – z.x;
Polinômio: mais de três termos. Ex: 2x-5ab+8x/12x;

Grau de um polinômio: como posso localizar?

Contudo, como saber se um polinômio é a partir do 2º grau? Primeiramente é importante identificar o maior grau do expoente de uma variável. Veja:

Portanto, na expressão 2.x²+3.x, a variável é x, enquanto que temos x², portanto, temos um polinômio de 2º grau.

Já a expressão 5z+6=5.z³ trata-se de um polinômio de 3º grau.

Agora, quando temos um polinômio com mais de uma variável, devemos somar os expoentes para termos o grau da expressão polinomial.

Exemplo: 5+10.x.y-3.x.y²

Desse modo, para chegarmos a uma resposta, devemos considerar o expoente 1 onde não há nada escrito:

x.y = x¹ . y¹, sendo 1 + 1 = 2
x.y²= x¹. y², sendo 1 + 2 = 3

Assim, como o maior expoente tem somatório 3, temos em mãos um polinômio de 3º grau.

Entretanto, também existem polinômios de grau nulo. É o caso da expressão x=2. Temos aqui um polinômio de grau 0, portanto tecnicamente temos um polinômio nulo.

Tipos: completo ou incompleto

Consequentemente, existem ainda duas classificações de polinômios: os completos e os incompletos.

Completos: quando a ordem dos expoentes é decrescente e não houver falhas na sequência. Exemplo:

8.x⁴ + 5.x³ + 3.x² + 7.x¹ – 3.x⁰

Incompletos: ocorre o inverso do completo, ou seja, a ordem dos expoentes é crescente e não há uma sequência. Veja:

8.x⁴ + 3.x² + 2.x⁰

Polinômios: confira como resolver

Adição

Sendo assim, na expressão: (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1), primeiramente, vamos eliminar os parênteses, fazendo o jogo de sinal. Portanto:

–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1

Agora, iremos ordenar de forma decrescente, considerando o valor da potência:

–2x² + 7x – 3x³ – 3

Assim, a expressão se resume a:

–3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração

Agora, vamos considerar o mesmo exemplo dado acima na adição, porém, com o sinal da subtração. Veja como resolver:

(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1)

Vamos, enfim, eliminar os parênteses e não esquecer de mudar o sinal, se necessário:

–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1

Logo, devemos ordenar as potências, da maior para a menor:

3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação

Em outro sentido, quando falamos em multiplicação, é possível fazer a operação entre polinômios, considerando aqui o uso da propriedade distributiva. Confira:

(x – 1).(x2 + 2x – 6)
x2 . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6
x³ + x² – 8x + 6

Já na divisão, a linha de raciocínio é a mesma adotada na multiplicação.

Curiosidade

E, então, você já leu sobre o binômio de Newton? Ele é representado por uma potência do tipo (x+a)ⁿ. Para resolver a questão, basta considerar o valor de x como 1. Veja o exemplo:

x=(4x+2)⁴
x=(4.1+2)⁴
x=(6)⁴
x=6.6.6.6
x=1296

Dicas Enem ou Vestibular

Os polinômios caem com frequência no Enem. Portanto para reforçar seus estudos sobre este tema, reveja suas anotações sobre equações de 1º e 2º grau, bem como potenciação e propriedade distributiva. Afinal, todos esses conceitos são usados na hora de resolver uma expressão polinomial. Boa sorte!