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Desigualdades matemáticas e suas propriedades

Os sinais de menor, maior, menor ou igual e maior ou igual são usados nas desigualdades matemáticas

Embora a matemática esteja presente em tudo que nos cerca, na hora de estudar para o Enem, ou para um concurso público, sempre fica uma apreensão acerca da complexidade das questões que a envolvem. Assim, para lhe auxiliar a tirar suas dúvidas, hoje vamos falar sobre as desigualdades matemáticas. Então fique ligado e confira todos os detalhes.

Entendendo as desigualdades matemáticas ou inequações

Primeiramente quando falamos em resolver desigualdades matemáticas estamos nos referindo a encontrar o conjunto numérico real que a torna verdadeira em contraste com um equação. Esta equação, por sua vez, tem um conjunto solução que consta de um intervalo completo de números ou mesmo a união de vários intervalos.

Assim, as desigualdades matemáticas numéricas no estudo da disciplina são chamadas de inequações. Essas são expressões algébricas, diferentes das equações, que possuem uma igualdade.

Contudo, as desigualdades são representadas pelos símbolos:

 < e > e ≤ e ≥

Ou seja, menor, maior, menor ou igual e maior ou igual.

Entenda a diferença entre inequações e equações

Em primeiro lugar, as equações possuem sempre um resultado único se forem de primeiro grau. Além disso, as equações respondem a perguntas que possuem sempre uma resposta exata.

As  inequações, por sua vez, podem ter resultados desde zero até o infinito. Isso dependendo do conjunto numérico e das condições definidas. Sendo assim, seus resultados são descritos como conjuntos.

Veja, por exemplo:

a) Equação

O salário da minha mãe é de R$ 1.200,00 e ela quer comprar uma geladeira que custa R$ 3200,00 à vista. Considerando um gasto de aproximadamente R$ 400,00 mensais com despesas e poupando o restante do dinheiro, quanto tempo levará para que ela possa comprar a geladeira?

1200x – 400x = 32000

800x = 32000

x = 32000

800

x = 40

Sendo assim, ela conseguirá comprar a geladeira em 40 meses.

b) Inequação

Se a mensalidade da aula de natação é de R$ 240,00 e ainda é cobrada uma taxa de inscrição de R$ 100,00, qual é a quantidade máxima de meses que um aluno que tem R$ 2.000,00 poderá frequentá-la?

100 + 240x < 2000

240x < 2000 – 100

240x < 1900

x < 1900

   240

x < 7,92

Propriedades da desigualdade

Quadro com infinitos números matemáticos para o ensino das desigualdades matemáticas.
As inequações apresentam algumas propriedades que necessitam ser seguidas (Pixabay)

As inequações, visto sua semelhança com as equações, possuem os mesmos métodos de resolução. Portanto com a diferença que há, neste caso, a desigualdade será colocada no lugar da igualdade.

Além disso, as desigualdades possuem algumas propriedades importantes que precisam ser seguidas. Então, vamos entender quais são?

a) Ao somarmos ou subtrairmos um número ou incógnita qualquer em ambos os membros de uma inequação, o sinal de desigualdade permanece inalterado.

Veja, por exemplo:

12x + 20 > 10x + 40

12x + 20 – 20 > 10x + 40 – 20

onde

12x > 10x + 40 – 20

12x – 10x > 10x + 20 – 10x

– 2x > 20

b) Ao multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por um número positivo, o sinal da desigualdade permanece inalterado.

1*2x > 20*1

2     >    20

x > 10

c) Ao multiplicarmos ambos os membros de uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido.

Veja, por exemplo:

2x + 16 < 10x – 16

2x – 10x < – 16 – 16

– 8x < – 32 (– 1)

8x > 32

x > 32

   8

x > 4

Exercícios resolvidos para fixação

Aliás, quer testar seus conhecimentos? Então, veja se você consegue resolver os nossos exercícios de fixação!

1 – (UNESP – 2004) Carlos trabalha como DJ sendo que cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Entretanto, Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

a) 6 horas      b) 5 horas c) 4 horas  d) 3 horas  e) 2 horas

2 – (VUNESP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Sendo assim, se a partir de janeiro a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de:

a) março b) maio c) julho d) setembro e) novembro

Gabarito e resoluções dos exercícios

Questão 1 – Resposta correta: Letra D

Resolução da inequação:

Assim, a inequação que representa essa situação, com os valores de Daniel à esquerda, é a seguinte:

55 + 35x ≤ 100 + 20x

Como queremos que a contratação de Daniel não fique mais cara, usamos menor igual, pois nada impede a igualdade de valores. Desta forma, veja a resolução da inequação:

55 + 35x ≤ 100 + 20x

35x – 20x ≤ 100 – 55

15x ≤ 45

x ≤ 45

  15

x ≤ 3 horas.

O tempo máximo para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos é de 3 horas.

Questão 2 – Resposta correta: Letra D

Resolução da inequação:

Primeiramente sendo x a quantidade de meses que se passa, a produção de cada fábrica obedecerá às seguintes equações:

A = 3000 + 70x

B = 1100 + 290x

Assim como queremos conferir em que mês a produção da fábrica B superará a de A, escreveremos:

B > A

Por último, mas não menos importante, substituiremos as respectivas equações:

1100 + 290x > 3000 + 70x

290x – 70x > 3000 – 1100

220x > 1900

x > 1900

220

x > 8,63

Assim, serão necessários 9 meses para que a produção de B seja maior que a de A. Como x = 1 é o mês de janeiro, então, x = 9 é o mês de setembro.

Dicas de estudos para o Enem

Certamente se você está aqui é porque anda estudando, não é mesmo? Quer estar preparado para o momento da prova? Então aproveite e confira também os temas abaixo, figurinhas carimbadas das provas de matemática:

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Escrito por Redator Especialista em Matemática

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