Fatorar é transformar um algarismo ou uma expressão algébrica em produto de uma multiplicação. Portanto, na Matemática a fatoração é muito utilizada nas expressões algébricas polinomiais e nos algarismos em geral.
Portanto, o maior propósito da fatoração, desse modo, é simplificar expressões, eliminando variáveis repetidas.
Sendo assim, para compreender o processo é importante ter uma base de conhecimento em polinômios, produto notável, potenciação e operadores algébricos, como a multiplicação.
Fatoração: transformando números
Logo, o modo mais simples da fatoração está na transformação de números naturais em expressões. Veja como fatorar o número 144.
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1 1
Portanto, o resultado da fatoração de 144 é 24 . 32 , ou seja 16.9= 144.
Formas de fatoração: praticando o conceito
Por consequência, existem algumas formas de fatoração de expressões polinomiais. Lembrando que um polinômio é um conjunto de coeficientes (números) e variáveis (letras) complementadas por operadores algébricos (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).
Fator comum em evidência
Como o próprio nome diz, a forma de fatoração de fator comum em evidência consiste em reunir os fatores comuns em evidência do lado esquerdo e as demais peças da expressão do lado direito.
Portanto, esse tipo de operação é realizado quando há um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Assim, esse fator é isolado antes da colocação de parênteses com os demais termos da expressão.
Sendo assim, na expressão polinomial 12x + 6y – 9z, temos que o número 3 é um quociente dos algarismos da expressão e também percebemos que as variáveis não se repetem.
Portanto, para chegar à fatoração devemos colocar o número 3 na frente dos parênteses e dividir todos os termos por 3. Veja:
12x + 6y – 9z
3.(4x + 2y – 3z)
Agrupamento
Mas quando não existe um fator que se repete nos polinômios, uma forma de realizar a fatoração é por meio do agrupamento. Desse modo, o nosso primeiro passo é identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Veja o exemplo:
mx + 3nx + my + 3ny
x (m + 3n) + y (m + 3n)
(m + 3n) (x + y) ͢ fatoração da expressão
Portanto, o resultado é alcançado por meio do agrupamento de expressões que se assemelham e da disposição em evidência.
Diferença de dois quadrados
Como fatorar a expressão a2 – b2? Nesta expressão não há como aplicar as formas anteriores de fatoração. Portanto, o mais indicado é a diferença de dois quadrados, que iremos demonstrar agora.
Para fatorar os polinômios, usamos o produto notável da soma pela diferença. Lembrando que produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios.
Veja o exemplo:
a2 – b2
(a + b) . (a – b)
Dessa forma, devemos então calcular a raiz quadrada dos dois termos e, em seguida, fazer o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Outro exemplo:
9×2 – 25
√9×2 = 3x
√25 = 5
9×2 – 25
(3x + 5) . (3x – 5)
Trinômio do quadrado perfeito
Para se utilizar esta forma é preciso que exista um trinômio e que ele seja de quadrado perfeito.
Mas lembrando que o trinômio é o conjunto de três monômios, sendo que cada monômio é formado por um número e uma letra.
Veja o exemplo:
16×2 + 8x + 1
Dois fatores do trinômio têm raízes quadradas, então ele é um quadrado perfeito.
Portanto a forma fatorada é:
16×2 + 8x + 1
(4x + 1).2
Trinômio do tipo x2+Sx+P
Mas e quando não se trata de um trinômio do quadrado perfeito? Então, nestes casos, temos que recorrer ao trinômio do tipo x2+Sx+P. No caso, S é a soma e P é o produto.
No exemplo m2 + 7m – 8 temos um trinômio de quadrado não perfeito, pois não se tem a raiz quadrada de dois fatores.
Nesse sentido, na expressão acima, o primeiro passo é achar dois números que, somados, resultem em 7 e o produto deles seja -8.
– 1 . 8 = – 8
1 . (-8) = – 8
4 . (- 2) = – 8
– 4 . 2 = – 8
Devemos achar também uma expressão em que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7.
Assim, a fatoração de m2 + 7m – 8 é (m – 1) (m + 8).
Soma de dois cubos
Para efetuar a fatoração com a soma de dois cubos, é essencial que haja um binômio elevado à terceira potência, ou seja, ao cubo.
Em suma, siga o exemplo: 27×3 + 1000. Esta é a soma de dois cubos.
Pode-se, em síntese, fatorar a expressão da seguinte maneira:
(3x)3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Nesse sentido, basta agora fazermos as substituições.
(x + y) (x2 – xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9×2 – 30x + 100)
Desse modo, a fatoração de 27×3 + 1000 será (3x + 10) (9×2 – 30x + 100).
Diferença de dois cubos
Muito semelhante à forma anterior, a diferença de dois cubos é a forma de fatoração de um binômio onde se subtrai dois cubos.
Considerando os fatores x e y, se subtrairmos x – y e montarmos uma expressão algébrica, teremos:
x2 + xy + y2
Portanto, devemos multiplicar as duas expressões encontradas, obtendo-se assim:
(x – y) (x2 + xy + y2)
Usando-se a propriedade distributiva, teremos:
x3 + x2y + xy2 – x2y –xy2 – y3
Portanto x3 – y3 é uma expressão algébrica de dois termos, onde dois monômios estão elevados ao cubo e subtraídos.
Conclui-se então que x3 – y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde x e y podem assumir qualquer valor real.
Em resumo, a forma fatorada de x3 – y3 será (x – y) (x2 + xy + y2).
Dicas para o Enem e outros vestibulares
Portanto, o tema fatoração é campeão nas provas de Matemática do Enem e outros vestibulares, pois une uma série de conhecimentos e habilidades já aprendidos em outros temas da disciplina.
Por consequência, a dica é, então, fazer simulados e assistir à material de apoio na internet para mandar bem nas questões sobre fatoração.
Exercício resolvido
Então, qual é a forma fatorada da expressão x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49?
a) (x + 7)2·(x – 7)2
b) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49)
c) (x + 7)·(x – 7)2
d) (x + 7)2·x – 72
e) x + 72·(x – 7)2
Resposta:
Usando o método do trinômio quadrado perfeito, temos que a forma fatorada de x2 + 14x + 49 é:
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:
x2 – 14x + 49 = (x – 7)2
Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:
(x + 7)2·(x – 7)2
O gabarito da questão é a letra A.
Em suma, reforce seus estudos sobre este tema e mande bem nas provas.
